Պարապմունք 41.

Թեմա՝ Բազմանկյան մակերեսի հասկացությունը։ Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսները։

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը:

Մակերեսի չափումը իրականացվում է զբաղեցրած մասի համեմատման միջոցով` չափման որոշ միավորների հետ:

Որպես մակերեսների չափման միավոր ընդունվում է այն քառակուսին, որի կողմը հավասար է հատվածների չափման միավորին: Այսպես, եթե հատվածների չափման միավոր ընդունված է սանտիմետրը, ապա որպես մակերեսների չափման միավոր ծառայում է 1 սմ կողմով քառակուսին: Այդպիսի քառակուսին կոչվում է քառակուսի սանտիմետր և նշանակվում է սմ²:

Անհրաժեշտության դեպքում, մակերեսի չափման մեծ միավորը բաժանվում է փոքր միավորների: Օրինակ՝

1սմ²=10մմ⋅10մմ=100մմ²

1մ²=100սմ⋅100սմ=10000սմ²

1կմ²=100000սմ⋅100000սմ=10000000000սմ²

Մակերեսի հատկությունները:

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2. Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

Եթե բազմանկյունների մակերեսները հավասար են, իսկ բազմանկյունները հավասար չեն, ապա նրանք կոչվում են հավասարամեծ:

Նկարում բերված են երեք հավասարամեծ ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են 12 քառակուսի միավորի:

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա կողմի երկարության քառակուսուն: S_ք․=a²

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին: S_ուղ․=ab

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է բազմանկյան մակերեսը։

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը:

2․ Գրել բազմանկյան մակերեսի հատկությունները։

1) Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2) Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

3․ Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում հավասարամեծ։

4․ Գրել քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևերը։

S_ք․=a²

S_ուղ․=ab

5․ Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝

ա) 1,3 սմ
1,3×1,3=1,69սմ^2
բ) 35 դմ
35×35=1225դմ^2
գ) 201 մ
201×201=40401մ^2
դ) 0,45 մ
0,45×0,45=0,2025մ^2
6․ Որոշել այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝

ա) 36 սմ²,
6սմ
բ) 64 դմ²,
8սմ
գ) 6,25 մ²,

դ) 0,81 մ²:
0,9մ
7․ Քառակուսու մակերեսը 49 սմ² է: Գտնել քառակուսու կողմը և քառակուսու մակերեսն արտահայտել քառակուսի միլիմետրով,
49:7=7սմ
7սմ=70մմ

8․ ա) Քանի՞ անգամ կմեծանա քառակուսու մակերեսը, եթե նրա բոլոր կողմերը մեծացվեն 3 անգամ,

բ)Քանի՞ անգամ կփոքրանա քառակուսու մակերեսը բոլոր կողմերը փոքրացվեն 2 անգամ:

գ) Քանի՞ անգամ պետք է մեծացնել քառակուսու կողմը, որպեսզի նրա մակերսը սկզբնականից մեծանա 36 անգամ:

6
9․ Գտնել ուղղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմերը հավասար են՝
ա) a=5 սմ, b=6սմ,
5×6=30սմ²
բ)a=2,5 մ, b=4 մ
2,5×4=10մ^2
գ) a=2,1 սմ, b=3,5 սմ
2,1×3,5=7,35սմ^2

10․ Գտնել ուղղանկյան անհայտ կողմը, եթե ուղղանկյան մակերեսը 24 սմ², իսկ կողմերից մեկը 4 սմ է։
24:4=6սմ

Պարապմունք 40․

Առաջադրանքներ։

1․ 4 սմ և 20 սմ կողմերով ուղղանկյունը պտտվում է մեծ կողմի շուրջ: Որոշել առաջացած գլանի շառավիղը և բարձրությունը:

Բարձրություն-20սմ

Շառավիղ-2սմ

2․ Քառակուսին պտտվում է իր՝ 3 սմ երկարությամբ կողմի շուրջ: Գտնել առաջացած գլանի շառավիղը, բարձրությունը

Շառավիղ՝ 1.5սմ։
Բարձրություն՝ 3սմ։

3․ Ընտրիր գլանի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

Գլանի ծնորդը հավասար է հիմքի տրամագծին:
Գլանի հիմքերը հավասար եռանկյուններ են:
Գլանի ծնորդը հավասար է նրա բարձրությանը:

4․ Գլանի առանցքային հատույթի անկյունագիծը 64 սմ է: Գլանի ծնորդի հետ այն կազմում է 30° անկյուն: Որոշել գլանի հիմքի շառավիղը:

r=16սմ

AA₁O₁O ուղղանկյունը պտտվում է OO₁ կողմի շուրջ: Արդյունքում առաջանում է գլան:

Տեղադրիր բաց թողնված բառերը:

ա) OO₁ հատվածը կոչվում է գլանի ․բարձություն:

բ) AA₁ և BB₁ հատվածները կոչվում են գլանի ծնորդներ:

գ) Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

դ) Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է:

5․ Նշել կոնի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

Կոնի հիմքերը շրջաններ են:
Կոնի հիմքը էլիպս է:
Կոնի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:

6․ 18 սմ և 24 սմ էջերով և 30 սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է իր մեծ էջի շուրջ:

ա) Ի՞նչ պտտման մարմին է առաջանում՝ :

բ) Պտտման մարմնի բարձրությունը՝ 24 սմ է :

գ) Պտտման մարմնի ծնորդը՝ 30 սմ է:

դ) Պտտման մարմնի շառավիղը՝ 18 սմ է:

7․ Կոնի բարձրության երկարությունը 12 սմ է, իսկ ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի ծնորդի երկարությունը։

12:2=24սմ

8․ Կոնի ծնորդի երկարությունը 14 սմ է, և հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի բարձրությունը։

14:2=7սմ

9․Ընտրել գնդի և գնդային մակերևույթի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

Կիսաշրջանի իր տրամագծի շուրջ պտույտի արդյունքում ստացվում է գունդ:
Գունդը ստացվում է էլիպսի պտույտի միջոցով՝ իր կիզակետի շուրջ:
Գնդային մակերևույթի կետերը տրված կետից ունեն տրված հեռավորությունը:
Ուղղանկյան պտույտի միջոցով՝ իր կողերից որևէ մեկի շուրջ ստացվում է գունդ:

10․ Տրված են 6 սմ և 35 սմ շառավիղներով երկու գնդեր: Հաշվել այդ գնդերի կենտրոնների հեռավորությունը, եթե
ա) եթե գնդերը չեն հատվում, d > 41սմ
բ) գնդերը իրար շոշափում են, d = 41սմ
գ) գնդերը հատվում են։ d < 41սմ

Պարապմունք 39.

Թեմա՝ Պատկերացում կոնի և գնդի մասին։

Կոն

Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO-ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտենք PO բարձրության շուրջ:

PO ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք, որը պարունակում է կոնի H բարձրությունը:

Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:

Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը երկրաչափական պատկեր է, որը կոչվում է շրջանի սեկտոր: Այն իրենից ներկայացնում է շրջան, որից դուրս է բերված նրա կենտրոնային անկյունը:

Սեկտորի շառավիղը հավասար է l-ի:

Գունդ

Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա): Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով:

Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:

OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ, կոչվում է գնդի շառավիղ:

Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որը անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:

Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:

Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն, իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Ոլորտով պարփակված և ոլորտի կենտրոնը պարունակող տարածության մասը կոչվում է գունդ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Ֆուտբոլի գնդակը, ձմերուկը, գլոբուսը պատկերացում են տալիս գնդի մասին: Գնդի մակերևույթի երկու կետը միացնող և գնդի կենտրոնով անցնող հատվածն անվանում են գնդի տրամագիծ: Գնդի տրամագիծը հավասար է երկու շառավղի: Գնդի մակերևույթն անվանում են գնդոլորտ (սֆերա):
Հարթությունը հատում է գնդոլորտը շրջանագծով: Այդպիսի շրջանագծերն ունեն տարբեր շառավիղներ. հարթությունը որքան հեռու է գնդոլորտի կենտրոնից, այնքան փոքր է հատույթի շառավիղը: Ամենամեծ շրջանագծերը ստացվում են այն դեպքում, երբ գնդոլորտը հատվում է կենտրոնով անցնող հարթություններով: Այս դեպքում շրջանագծի շառավիղը գնդոլորտի (գնդի) շառավիղն է: Երկրի մակերևույթի վրա այդպիսի մեծ շրջանագծեր են հասարակածը և միջօրեականները: Զուգահեռականները՝ երկրի մակերևույթի հատույթներն են այն հարթություններով, որոնք զուգահեռ են հասարակածի հարթությանը:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում կոն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել կոն։

Կոնը երկրաչափական մարմին է, որը սահմանափակված է կոնային մակերևույթով և $L$ շրջանագծի եզերած շրջանով։

2․ Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ կոն։

3.Ո՞ր պատկերն է կոչվում գունդ։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գունդ։

Գնդի մակերևույթը տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։

4․Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ գունդ։

Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

5․Նշիր պտտման մարմինների վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի շուրջ:
պրիզման ստացվում է քառակուսու պտույտի միջոցով՝ իր բարձրության շուրջ:
գլանը ստացվում է ուղղանկյան եռանկյան պտույտի միջոցով՝ իր բարձրության շուրջ:

6․ 7 սմ և 24 սմ էջերով և 25 սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է իր մեծ էջի շուրջ:

Առաջացած պտտման մարմնի անվանումը՝

Կոն

Առաջացած պտտման մարմնի բարձրությունը՝

24սմ

Առաջացած պտտման մարմնի ծնորդը՝

25սմ

Առաջացած պտտման մարմնի շառավիղը՝

7սմ

7․Լուծել խնդիրը․

l=12

r=12:2=6

8․ Յուրաքանչյուր դեպքի համար գծել գծագիրը։

ա) Գնդերը չեն հատվում
բ) Գնդերը հատվում են 2 կետում
գ) Գնդերը հատվում են 1 կետում
դ) Գնդերը հատվում են 2 կետում
ե) Գնդերը չեն հատվում

9․30⁰ անկյուն ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է մեծ էջի շուրջը։ Գտնել պտտումից առաջացած կոնի ծնորդը, եթե այդ կոնի շառավիղը 15 սմ է։

l=15×2=30սմ

Պարապմունք 38

Թեմա՝ Պատկերացում գլանի մասին։

Ծանոթանանք տարածական այնպիսի մարմինների, որոնց մեջ շրջանագիծը նրա մասն է և ունի կարևոր դեր։ Սահմանում ` Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։ Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում գլան։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գլան:

Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։

2․ Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ գլան։

Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

3․ Ո՞րն է գլանի առանցքը, հիմքերը, շառավիղը, առանցքային հատույթը և ծնորդը։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:

4․ Ի՞նչ պատկեր է գլանի առանցքային հատույթը։

Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:

5․Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է: Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը:

Եթե գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է, ապա գնալի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը հավասար է 2:1:

6․ Գլանի առանցքային հատույթը 40սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Գտեք գլանի շառավիղը:

40:4=10 (մի կողմ)

10:2=5 (շառավիղ)

7․Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60⁰-ի անկյուն: Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6սմ է:

90-60=30
6×2=12 (անկյունագիծ):

8․ Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով: Գոլորիշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին: Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը:

Այդ պատկերն շրջանագիծն է:

9․ Գլանաձև ցիստեռնի մի մասը լցված է հեղուկով: Ի՞նչ պատկեր է հեղուկի մակերևույթը: Դիտարկեք ցիստեռնի տեղադրման երկու դեպք՝ ուղղաձիգ և հորիզոնական:

Ողղաձիգի դեպքում շրջանագիծ, հորիզոնականի դեպքում՝ ուղղանկյուն:

Պարապմունք 37.

Թեմա՝ Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը։

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր: Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում։

Արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով:

∡AOH=360°/n;∡AOK=360°/2n=180°/n

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանկյունն է կոչվում կանոնավոր։ Բերել օրինակներ

Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոrնավոր բազմանկյան կենտրոն:

2. GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր եռանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։

Ներգծյալ

Արտագծյալ

3․GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր քառանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։

4․Ճշմարի՞տ է արդյոք հետևյալ պնդումը․
ա) յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանկյուն ուռուցիկ բազմանկյուն է Ոչ
բ) ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյուն կանոնավոր բազմանկյուն է Այո

5․Հետևյալ պնդումներից որո՞նք են ճշմարիտ․
ա) բազմանկյունը կանոնավոր է, եթե այն ուռուցիկ է, և նրա բոլոր կողմերը հավասար են, Սխալ է
բ) եռանկյունը կանոնավոր է, եթե նրա բոլոր անկյունները հավասար են, Ճշմարիտ է
գ) հավասար կողմերով յուրաքանչյուր քառանկյուն կանոնավոր քառանկլյուն է։ Սխալ է
Պատասխանները հինմավորել։

6․ Տրված է 13,4 դմ կողմով EFGH քառակուսին:

ա) Հաշվիր քառակուսուն ներգծված շրջանագծի շառավիղը: 6,7 դմ

բ) Հաշվիր քառակուսու մակերեսը: 179,56 դմ

7․Տրված է հավասարակողմ եռանկյուն, BO=16սմ:

ա) Գտնել ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

OD=16:2=8

բ)Գտնել հետևյալ հատվածների երկարությունները:

OE, BE, AD։

OE=16, BE=16×2=36, AD=8×2=16

Պարապմունք 36.

Թեմա՝ Երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը։

Հարթության մեջ երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը կախված է՝

նրանց կենտրոնների դասավորությունից,
նրանց շառավիղների երկարություններից:

Հնարավոր է երեք դեպք:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են՝ ունեն երկու ընդհանուր կետ:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են՝ ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Դիտարկենք հնարավոր դեպքերը:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են. ունեն երկու ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների գումարից:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են. ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը՝

արտաքին շոշափում,
ներքին շոշափում:

Արտաքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների գումարին:

Ներքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների տարբերությանը:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Այս դեպքում ևս հնարավոր է երկու դեպք:

Երկու շրջանագծերով սահմանափակված շրջանները չեն հատվում:
Փոքր շառավղով շրջանը ընկած է մեծ շառավղով շրջանի մեջ:

Առաջին տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը մեծ է շառավիղների գումարից:

Երկրորդ տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների տարբերությունից:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչպիսի՞ հնարավոր դասավորվածություն կարող են ունենալ տրված շրջանագծերը եթե նրանց կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է 20սմ, իսկ շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են՝ ա) 15 սմ և 10 սմ բ) 10 սմ և 10 սմ գ) 5սմ և 7 սմ: GEOGEBRA ծրագրով գծել ստացված պատկերները։

2.Հարթության վրա երկու իրարից տարբեր շրջանագծեր կարող են (ընտրիր ճիշտ պատասխանները)՝

չհատվել
չունենալ ընդհանուր կետ
հատվել երեք կետերում
ունենալ 6 ընդհանուր կետ

3․Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն շրջանագծերը:Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

2
անվերջ թվով
1
0

4․Գտնել ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է:

5․Գծել տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ: Հաշվել OB հեռավորությունը:

6․ Տրված են այս երկու շրջանագծերը, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r₁-ը և r₂-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:Ընտրել ճիշտ պնդումը:

OB>r₁+r₂
r₁+r₂=OB
r₁+r₂>OB

Պարապմունք 34

Թեմա՝ Արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:

Եթե քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ արտագծել, ապա տեղի ունի հետևյալ հատկությունը՝ Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

Հետևյալ հատկության միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Ի տարբերություն քառանկյունների, բոլոր տեսակի եռանկյուններին հնարավոր արտագծել շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ:

Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը):

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

1․ Ո՞ր շրջանագիծն է կոչվում բազմանկյանը արտագծյալ:
Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

2․Քանի՞ շրջանագիծ կարելի է արտագծել տրված եռանկյանը:
Տրված եռանկյանը կարելի է արտագծել 1 շրջանագիծ։

3․ Հնարավո՞ր է արդյոք ցանկացած քառանկյան արտագծել շրջանագիծ:
Ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

4․ Ի՞նչ հատկություն ունի շրջանագծին ներգծված քառանկյունը:
Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

5․Սեղանին արտագծված է շրջանագիծ: Հաշվիր սեղանի մյուս անկյունները, եթե անկյուններից մեկը՝ F=10° է:

180-10=170
Պատ․՝ 170, 10, 170, 10

6․ Գտնել B և D անկյունները։

<B=180-85=95^o
<D=180-117=63^o

7․ O կենտրոնով շրջանագծին ներգծված է ZXY եռանկյունն այնպես, որ ZX-ը տրամագիծ է։ ZY աղեղի աստիճանային չափը հավասար է 104⁰ -ի։ Գտնել ZXY եռանկյան անկյունները։

8․ Օգտվելով գծագրից, գտնել ∠ B-ը։

Պատ․՝ 44^o

9․ Գտնել ∠ R-ը և ∠B-ն։

<R=180-74=106^o
<B=180-92=88^o

10․ ABC եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ։ Գտնել այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AC=24 սմ, ∠A=60⁰, ∠B=30⁰:
Պատ․՝24 սմ

11. Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջա նագիծ, եթե ա)∠A=64⁰, ∠ B=95⁰, ∠C=106⁰ Ոչ
բ) ∠A=72⁰, ∠B=69⁰, ∠D=111⁰ Այո
գ) ∠A=90⁰, ∠C=90⁰, ∠D=80⁰ Այո

Պարապունք 33.

Թեմա՝ Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:

Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել:

Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝ a+c=b+d:

Քառանկյան յուրաքանչյուր կողմ ներկայացնենք երկու հատվածների գումարի տեսքով՝ AB=AK+KB, BC=BL+LC, CD=CM+MD, և AD=DN+NA: Քանի որ, նույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են, ապա՝ AB+CD=BC+AD:

Այս հատկությունը կարելի է օգտագործել, որպես հայտանիշ, որի միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ:

Փորձենք ուղղանկյանը ներգծել շրջանագիծ։Քանի որ ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարը հավասար չէ,ապա չենք կարող ներգծել շրջանագիծ։

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Ո՞ր շրջանագիծն է կոչվում բազմանկյանը ներգծյալ։

2․ Քանի՞ շրջանագիծ կարելի է ներգծել տրված եռանկյանը:

Տրված եռանկյանը կարելի է ներգծել մեկ շրջանագիծ։

3․GEOGEBRA ծրագրով գծիր եռանկյուն, ներգծիր եռանկյանը շրջանագիծ, նկարը ցույց տուր։

4․Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 4 սմ և 9 սմ։ Գտնել սեղանի պարագիծը։

4+9=13

13:2=6,5

P=4+9+6,5+6,5=26սմ

5․Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3 սմ և 4 սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը:

BN=BM=4սմ

AN=AH=CH=CM=3սմ

BC=3+3=6սմ

PABC=7+6+7=20սմ

PABC=20սմ

6․ Գտե՛ք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

r=6+8-10:2=2

7․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13սմ է, իսկ էջերի գումարը՝ 17սմ: Գտե՛ք եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

r=1/2 (a+b– c)

r=1/2 (17-13)=2

8․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15 սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

AB+BC=36-15=21սմ

r=1/2 (a+b– c)

r=1/2 (21-15)=3

Պարապունք 32.

Թեմա՝ Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա:

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է: Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա:

Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից:

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Գրել չորս նշանավոր կետերը։
Ներգծյալ շրջանագծի կենտրոն
Արտագծյալ շրջանագծի կենտրոն
Ծանրության կենտրոն
Եռանկյան օրտոկենտրոն

2․ Լուծել խնդիրը

3․ Լուծել խնդիրը

AO=5×2=10

4․ Լուծել խնդիրը

ա)8,5։2=4,25
AD=4,25 սմ
CD=4,25 սմ

բ)3,2×2=6,4
AD=6,4 սմ
CD=6,4 սմ

Պարապունք 30.

Թեմա` Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուն:

Ըստ գծագրերի տվյալների գտնել x-ը.

ա)

360-152+80=128

բ)

360-125+30=205

գ)

360-112+180=68

դ)

360-215+20=125

ե)

30°

զ)

130°

է)

90°

ը)

60°

2. AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ ∪AC=57^o, ∪BD=63^o: Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 14 սմ է։

Մենք գիտենք, որ աղեղների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։
180-57-63=60
Եթե մենք գծենք CDլարը կստանանք եռանկյուն, որը կազմված է երկու շառավիղներից, որոնք հավասար են, և ունենք 60 աստիճանի անկյուն, հետևաբար եռանկյունը հավասարակողմ է, իսկ եե եռանկյունը հավասարակողմ է CD=14սմ։

3. Հաշվիր AOB եռանկյան անկյունները, եթե ∪AnB=130°