Թեմա՝ Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներ։
Եթե անհավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի անհավասարումը անվանում են իռացիոնալ:
Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:
Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:
1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:
2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝
Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a2
Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:
1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:
Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)
2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝
Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a2
Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:
√x ≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:
1) Եթե a<0, լուծում չկա:
2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a2]
√x ≥ a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:
1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)
2) Եթե a≥0, ապա x∈[a2;+∞)
Օրինակ
Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:
1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0
2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)2❤2
3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝
4) Լուծենք ստացված համակարգը՝
5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)
Առաջադրանքներ։
1․Լուծել անհավասարումները;
233. x∈(4,+∞)
234. x∈(0, 9)
235. x∈(0, 4)
236. x∈(0,+∞)
237. x=0
238. x∈(64,+∞)
239. x∈(0,+∞)
240. x∈(0, 16)
241. x∈(0, 49)
242. x∈(0,+∞)
243. x∈(81,+∞)
244. x∈(7,+∞)
245. x∈(2,+∞)
246. x∈(2, 7/3)
247. ∅
248. x=3
249. ∅
250. x∈(- 8/3,+∞)
251. x∈(4,+∞)
252. x∈(-3, -1)
253. x∈(1, 11/7)
254. x∈(13/6,+∞)
255. ∅
256. ∅
257. x∈(31/2,+∞)
258. x∈(4, 8)
259. x=9
260. x∈(4, 16/3)
261. x∈(2,+∞)
262. x∈(4/3, 3)
263. x∈(8,+∞)
264. ∅
265. x∈(4,+∞)
266. x∈(4/3, 5/2)
267. x∈(10/3, 6)
268. ∅
2․ Լուծել անհավասարումները։
275. ∅
276. x=4
277. x∈(-1/2, 2)
278. x=4/3
Արես Հակոբյան 