Պարապմունք 54․

Թեմա՝ Ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարումներ։

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն իրական թվեր են, և a≠0, կոչվում է քառակուսային հավասարում:

Քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝

x₁=−b+√D/2⋅a,  x₂= −b−√D/2⋅a, որտեղ D=b²−4ac

D -ն անվանում են քառակուսային հավասարման  տարբերիչ  կամ դիսկրիմինանտ: 

Քառակուսային հավասարման արմատների գոյության հարցը և դրանց քանակը կախված D տարբերիչի արժեքից:

1) Եթե D<0 (բացասական է), ապա քառակուսային հավասարումը արմատներ չունի:

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային հավասարումն ունի ճիշտ մեկ արմատ:

3) Եթե D>0 (դրական է), ապա քառակուսային հավասարումն ունի երկու իրարից տարբեր արմատներ:   

Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ քառակուսային հավասարումները՝

1) 3x²−5x+4=0

2)25x²−10x+1=0

3) x²−6x+5=0

4) 2x²−4x−3=0

Լուծումներ:

1) Հաշվենք 3x²−5x+4=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=5²−4⋅3⋅4=25−48=−23<0

Պատասխան՝ հավասարումը արմատներ չունի:

2)Հաշվենք 25x²−10x+1=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=10²−4⋅1⋅25=100−100=0

Հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ x=−(−10)+√0/2⋅25=10/50=1/5=0.2

Պատասխան՝ x=0.2

3) Հաշվենք x²−6x+5=0 հավասարման տարբերիչը՝  D = (−6)² −4 ⋅1⋅5 =36−20=16>0

Հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x_1,2=−(−6)±√16/2=6±4/2

Պատասխան՝ x₁=5,x₂=1

4) Հաշվենք 2x²−4x−3=0 հավասարման տարբերիչը՝ D=4²−4⋅(−3)⋅2=16+24=40>0 Հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x_1,2=−(−4)±√40/2⋅2=4±√4⋅10/2=2±√10

Ուշադրություն

Եթե թվերն արմատի տակից դուրս չեն գալիս, դա չի նշանակում, որ հավասարումը լուծում չունի: Այդ դեպքում արմատներն իռացիոնալ թվեր են:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումները․

1) 2x(x+3)=0
x(x+3)=0
x=0
x+3=0
x=0
x=-3
2) (2x-1)^2=0
2x-1=0
2x=1
x=1/2
3) x^2-4=0
x^2=4
x=+-2
x=-2
x=2
4) x^2-2x-3x+6=0
x(x-2)-3(x-2)=0
(x-2)(x-3)=0
x-2=0
x-3=0
x=2
x=3
5) x=-3+-√3^2-4*6*(-1)/2*6=-3+-√9+24=-3+√33/12
x=-3+√33/12
x=-3-√33/12
6)

2․Լուծել հավասարումները․

x₁ = 0,5, x₂ = 1,5
x₁ = -1/3, x₂ = 5/3
x₁ = 1/2, x₂ = 3
x₁ = -1, x₂ = 3/4
x₁ = 4.5, x₂ = 0.5
x₁ = 0.187, x₂ = 1.187
x₁ = 1/2 + √3/2 i, x₂ = 1/2 — √3/2 i
x₁ = -3/2 + 3√3/2 i, x₂ = -3/2 — 3√3/2 i

3․ Լուծել հավասարումները․

x₁ = -3/2, x₂ = -1
x₁ = 3, x₂ = 3
x₁ = -4 x₂ = 1
x₁ = -7/10 + √11/10 i, x₂ = -0.7 — √(11)/10i
x₁ = -2, x₂ = 18

4․ Լուծել հավասարումները․

x₁ = 3/2, x₂ = 3
x₁ = -3, x₂ = -2/3
x₁ = -4/3, x₂ = 1
x₁ = -5/2, x₂ = 2